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数轴动点问题是初中数学的一大难点，常常让很多同学感到头疼。这类题目巧妙地将数轴、绝对值、行程问题和一元一次方程等核心概念融为一体，全面考察学生的综合分析能力。本文将通过一道经典例题，深入剖析其中一问：若A, B两点分别与原点的距离相等，求 t 的值，带你彻底掌握此类问题的解题技巧。
一、攻克数轴动点问题：必备核心知识点
要解决这类问题，我们首先需要牢固掌握以下几个关键的七年级数学知识点：
- 数轴与点的表示：数轴上的任意一个点都可以用一个具体的数来表示。
- 数轴上的距离：点到原点的距离等于 |a|（a的绝对值），两点之间的距离等于 |a - b|。
- 动点问题的代数表示：运动后的位置 = 初始位置 + 速度 × 时间。
- 建立一元一次方程：通过寻找等量关系建立方程，是求出未知数的关键。
- 绝对值的几何意义：|x| = |y| 意味着 x 和 y 到原点的距离相等，有两种可能：x = y 或 x = -y。
二、解题思路与分析方法
拿到一道数轴动点题，我们的思考路径应该是这样的：
- “翻译”问题：将题目中的文字描述，精准地转换成数学语言。
- 点A的初始位置：-50
- 点B的初始位置：-40
- 点A的速度：+5 单位长度/秒 (向正方向)
- 点B的速度：+3 单位长度/秒 (向正方向)
- t秒后A的位置：-50 + 5t
- t秒后B的位置：-40 + 3t
- 最终条件：|-50 + 5t| = |-40 + 3t|
- 建立数学模型：根据上面的翻译，建立含有绝对值的一元一次方程。
- 分类讨论求解：这是解决绝对值方程最关键的一步。两个数的绝对值相等意味着什么？
- 情况1：两点重合。当A和B运动到数轴上同一个位置时。
- 情况2：两点关于原点对称。当A和B运动到原点两侧，且到原点的距离相等时。
三、详细解题步骤
第一步：用含t的代数式表示A、B的动态位置。
- 点A的位置 P_A = -50 + 5t
- 点B的位置 P_B = -40 + 3t
第二步：根据核心条件“A、B两点与原点的距离相等”列出方程。
- |P_A| = |P_B|
- 即：|-50 + 5t| = |-40 + 3t|
第三步：运用分类讨论思想，分两种情况解方程。
情况1：A、B两点重合 (P_A = P_B)
此时为追及问题，A追上了B。
-50 + 5t = -40 + 3t
5t - 3t = -40 + 50
2t = 10
t = 5
解得 t = 5。
检验：当运动5秒时，A和B在 -50 + 5*5 = -25 的位置重合，此时它们到原点的距离均为25，符合题意。
情况2：A、B两点关于原点对称 (P_A = -P_B)
此时A和B分别在原点两侧，位置坐标互为相反数。
-50 + 5t = -(-40 + 3t)
-50 + 5t = 40 - 3t
5t + 3t = 40 + 50
8t = 90
t = 11.25
解得 t = 11.25。
检验：当运动11.25秒时，A的位置是 -50 + 5 * 11.25 = 6.25，B的位置是 -40 + 3 * 11.25 = -6.25。此时，A在6.25，B在-6.25，它们关于原点对称，到原点的距离均为6.25，符合题意。
第四步：总结答案。
综上所述，当 t = 5 秒或 t = 11.25 秒时，A、B两点与原点的距离相等。
四、举一反三：拓展变式训练
掌握了上述方法后，我们来看两种常见的变式题目，用以巩固和加深理解。
拓展题1：相向而行与两点距离
题目：数轴上，点A在-20处，点B在40处。A、B两点同时出发，点A以2个单位/秒的速度向右运动，点B以3个单位/秒的速度向左运动。运动多少秒后，A、B两点相距15个单位长度？
解题思路：
- 表示动态位置：A的位置：-20 + 2t；B的位置：40 - 3t
- 表示两点距离：A、B两点距离为 |(-20 + 2t) - (40 - 3t)|
- 列出方程：|(-20 + 2t) - (40 - 3t)| = 15
- 解绝对值方程：|-60 + 5t| = 15
- 情况一（相遇前）：-60 + 5t = 15 => 5t = 75 => t = 15
- 情况二（相遇后）：-60 + 5t = -15 => 5t = 45 => t = 9
- 答案：运动9秒或15秒后，两点相距15个单位。