七年级几何：60度角平分线截长补短证明AB等于PC📚 | AI带你玩转Python

60度角平分线截长补短证明AB等于PC

适用对象：七年级几何学习者核心方法：倒推全等 + 截长补短 + 等边三角形

题目

在中，

点是与的平分线的交点。求证：

一、先读懂题目

1. 已知了什么

平分；

平分。

因此：

并且：

因为，所以对边满足：

这保证了后面取时，点实际落在线段上。

同时是两个内角平分线的交点，所以它还是的平分线上的点。于是：

2. 要证明什么

目标是：

在三角形左边，在三角形右边；它们没有直接出现在同一个容易比较的三角形里。

这提示我们：

要证两条线段相等，优先想办法构造全等三角形，把一条线段“转移”到另一处。

二、辅助线是怎样想到的

第一步：看到，联想等边三角形

题中最醒目的角是：

如果能再在这个角的两边造出两条相等线段，就能得到等边三角形。

目标中有，所以我们想把复制一份。于是，在射线上取点，使得：

由于在射线上，

又，所以是等边三角形。

从而：

第二步：为什么一定让在上

这样放置，不是随意的，有两个目的：

利用原题的造出等边三角形；

让三点共线，后面可以把角平分线给出的也用到点上。

更重要的是，平分，所以：

这样，和就有机会用边角边全等。

把思考压缩成一句话

这就是“截长补短”辅助线的来源。

三、正式证明

作法

因为，所以可在线段上取一点，使得：

连接、。

证明

因为在射线上，且，所以：

又，故为等边三角形。因此：

#### 1. 证明

在和中：

又因为平分，而射线与射线重合，所以：

所以：

从而：

#### 2. 求出三角形的角

平分，所以：

由式 (1)：

因此：

由式 (2)，，所以是等腰三角形，得：

于是：

#### 3. 证明

由式 (1) 和：

又三点共线，因此：

而平分，且在射线上，所以：

在中：

所以：

故：

#### 4. 最后“转边”

由式 (2)、(4)，可得：

所以：

在和中：

所以：

从而：

又由等边三角形：

因此：

四、解题复盘

这道题的主线不是记住“要在上取 ”，而是学会以下的倒推过程：

目标是线段相等 尝试构造全等三角形；

目标边是 尝试复制；

题中有 把复制出的边放到这个角的一边，造等边三角形；

题中有角平分线 利用相等的半角，与公共边、复制边拼出 SAS；

全等后得到新等长 再把新等长传递到含有的三角形中。

识别口诀

见，想等边；要等长，先复制边；角平分，找相等角；两边一角证全等。

本题模型标签

目标转化：线段相等全等三角形；

辅助线：截取；

结构： + 两边相等等边三角形；

证明工具：SAS 全等、等腰三角形两底角相等、三角形内角和。