关于数学思维的基本修养(傅学顺)
2025-5-31|2025-5-31
静水流深
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数学思维抽象而复杂,很难用简短的文字进行概述,也很难用简短的语言来传授。但是,在前面所述论述的基础上,我们还是可以阐述这种思维的基本修养,即最低限度的东西。
(一)根据问题的目标和问题的结构,迅速确定其类型,区分其主要部分
①寻求题
其目标是寻求数、图形、集合、不等式、方程、函数等等。 其主要部分是未知、已知,以及未知和已知的关系——条件;条件一般又由若干款组成。
②证明题
其目标是判断命题的真假。 其主要部分是假设和结论,即充分条件和必要条件。假设一般也由若干款组成。 这是广义的”寻求题”,寻求把结论和假设联系起来的逻辑链。
③选择题
其目标是指定集合内的一个元素作为答案。 其主要部分是假设、结论的选择体系,(或已知条件,未知的选择体系)加上填空处。 这是介于寻求题和证明题之间的问题,既可以归入前者,又可以转化为后者。
确定问题的类型,目的在于:判断该问题是否已经化成数学问题,在结构上又属于哪类数学问题,从而确定解题的目标和出发点。
(二)初探问题的合理性
① 检查假设各款本身的合理性,或确定合理之范围,比如先求函数定义域备用。
② 检查假设各款之间、结论各款之间是否相容。从前一种不相容,可以判断命题不合理。但从第二种不相容,只能判定命题部分不合理。
③ 用特殊化手法(包括赋特殊值)或极限手法,检查命题成立与否。此举虽然不能判断命题为真,但可以增强信心;偶尔可以判断命题为假,并造出反例。
初探合理性,好处在于:避免在无意义的问题上浪费精力(如抄错题),增强解题信心,甚至取得有用的解题信息。
(三)用自己的语言复述问题(从语言上转化问题)
① 尽量用代数、几何、三角、微积分等的术语和符号,把问题的主要部分阐述出来。接着,把问题标准化,以便于联想有关定理和公式,也可以避免乱用定理或公式。
② 回到命题中诸概念的定义上来,尽量把有关元素引出来。这种”翻译”,有助于深刻理解问题,有助于猜到解法属何种类型。新元素的引入,则有助于联想定理、公式或模型。
(四)从逻辑上转化问题
① 对于证明题,写出其逆否命题,因为有些问题,后者较易引起联想和进行论证。
② 对于证明题,猜测其逆命题成立,并试图证明之,往往有助于原命题的解决。
③ 对于寻求题包括选择题,利用极限手法或特殊化手法,比较准确地猜出要求的东西,从而把原问题实际转化为证明题。这样转化出来的证明题,总比原问题容易解决,因为它有了确定的目标。
(五)联想有关知识
① 盯住本问题的结论,联想与本问题有相同结论的定理或解过的问题。想到了,就探索该定理或老问题的假设是否可由本问题的假设推出来。——列为辅助问题。这就导致简单的追溯型分析过程的开始。(请读者自行画出这种联想的示意图)
② 盯住本问题的假设,联想与本问题有相同假设的定理或老问题。想到了,就探索本问题的结论是否成立,是否可由该定理或老问题的结论推出来。——列为辅助问题。这就导致简单的后进型分析过程的开始。
③ 联想有关知识,既把本问题的假设转化,进行推理,又把其结论转化(尽量采用等价转化),进行推理,看两个转化能否达到同一中间结果。这就导致混合型分析过程的开始。
④ 与本问题有任何公共部分的定理或老问题,都可以作为联想的对象,以便从中得到有益的启示,从而开拓解题的思路。
(六)推出有用的事实
基本方法
① 利用本命题的结论,进行推理,引出对本问题有用的事实,乃至本问题的假设(追溯型分析之变种)。
② 把本问题的假设和结论合起来,进行一连串的推理,引出有用的信息,展开构造性探索。这就导致构造型分析过程的开始。
前一种,避免了(五)① 中进行联想的许多麻烦,却加强了探索的分量。
后一种,造出了”前所未有”的新问题,它与原问题的假设和结论都有相同成分。也避免了(五)①、② 中进行联想的许多麻烦,并且大大加强了探索的分量。
进阶策略
③ 利用本问题的假设,进行一系列推理,在推理结果中择优;取觉得最有希望引向本问题的结论者,把其他结果铭记在心,备用。这种多中择优,往往导致复杂的前进型分析的开始。
④ 用极限手法、特殊化手法、归纳法等,推出有用的信息。
⑤ 用类比手法找到解过的老问题,由老问题的解法猜测本问题的解法轮廓。换言之,类似的老问题及其解法,是一种很独特的解题信息。
有了好信息,便容易拟出初步的解题计划,其中每步都含有构造性活动。
重要原则
⑥ 要习惯于从结论(或加上假设)起步。一般说来,从结论起步的分析法(追溯型、构造型、混合型)优于前进型分析法。注意,思维能力差的学生,往往习惯于后者,并且常常由于不会转化问题而无法”前进”一步。
⑦ 推理常常先从最不顺眼,觉得最尴尬的地方下手,因为它往往是编题者故意”拐弯”,加大难度之处。转化的技巧在于反其道而行,“拐”回原出发点,即熟悉的地方,以便建立联想。
(七)联想有关模型
这类模型包括三类:参考书提供的;自己析出的;尚在自己头脑中酝酿,还比较模糊的雏型。为了找到模型,
① 需要早一点考虑,是否需要把假设(或已知条件)重新分离,特别要把原命题没有强调甚至隐藏的条款挖出来,然后重新组合。
② 往往不是重新细分、重新组合好了才开始解题,而是边细分边组合边解,补充细分、补充组合之后再解,直到完全解决。
③ 在重新分离和重新组合过程中,谨防遗漏而减弱了假设;更要防止添加而增强了假设。前一种错误容易觉察,因为条件一弱,就解不下去,自然回头。后一种却未必,因为”比较顺利”,乐而忘忧。
④ 一般先取容易下手的条款来考虑。在取第二条款时,才考虑采用逐次逼近还是双轨模型。
⑤ 从别人那里看到或听来的经验或模型,一定要亲自实践,取得自己的经验,熟练到好象自己发现的一般,否则急用时就联想不上或用不好。
(八)本问题解决之后,还有一半(重要的一半)工作要做
① 尽可能把”笨”解法改进为”巧”解法。
② 把问题特殊化、具体化,寻求直接应用或引出推论。
③ 把问题抽象化,使其应用范围扩大,力求概括出模型,收到以一当十的效果。
④ 尽量由一题引出多题。即使不能引出新命题,能引出一串考问题也好,因为这有助于知识的系统化。
⑤ 尽量减弱假设(或已知条件),或加强结论,使定理精炼、强化。此项工作不宜太早进行,以免节外生枝、增加难度,或远离原题、迷失方向。
这(八)是消化、吸收、组织、深化的工作,可以为尔后应用和联想打好扎实的基础。解题之后,能否从中引出最大收获,由”笨”引向”巧”,由一般到特殊,或由特殊到一般,以一当十,是此项工作水平高低的重要标志。
总结
以上便是数学思维的基本修养。从中可以看到与电子计算机的储存、反馈和”取出”相当的东西。然而,它们也有一定的区别:只要有关部件不坏,电子计算机的储存、反馈和”取出”,总是按一定的程序进行的,而且保证可以取得成功。但是,人脑的知识、技能的储存和临场的反馈——联想、信息处理,都带有很大的随机性,不可能按既定的程序进行,不能保证一定取得成功;并且,“储存”久而不用就可能忘却。因此,只谈到”基本修养”,远未解决”数学教学最优化”问题,只是走了最起码的一步而已。由此也可遇见,“最优化”的工作是何等之艰巨。
知识与能力的关系
最后,让我们再次回到本书开头提出的关于知识和能力的关系上来。现在,我们已经可能把这个问题说得更加透彻更加科学了。
如果把数学问题比作”鱼”,把解题比作”网”,那么,这个网实际上是由知识和能力织成的网络。概念、公理、定理和推论,不过是这个网络上的一个个结点。这些结点靠代数、三角、平面几何、立体几何、解析几何、微积分等各种自身的系统性和逻辑性连结起来,捻成一条条纵线——显然,仅有这些东西,本领甚小,几乎让”鱼”全跑掉。
进而,靠着老师和学生共同努力,在严格训练的基础上,把知识系统化和手法归类,使每条纵线发展为网片。例如平面几何,就”如何证两线段相等”“如何证两角相等”“如何证两直线垂直”“如何证两线段成比例”“如何证三点共线”“如何证四点共圆”等等问题,进行归类,使平面几何这条纵线发展为网片。这样,本领就大了些,能捞到不少”鱼”。但由于网片间缺乏横线联系,一片片处于纵向飘洒状态,许多”鱼”尚有机会逃走。
为了建立至关重要的横线,师生还得继续努力,通过解一定数量的综合题,大搞类比思维、复合思维,把平面几何片和立体几何片,几何片和代数片,几何片和三角片,三角片和代数片,联结起来。这样就把网络织得比较细密,一网撒去,可兜一群!
我们又再一次论证了数学头脑的”发达”,主要不是来自”天赋”,而是来自思维发展早期的严格训练。
根据文章内容,以下是对数学思维基本修养的核心逻辑可视化:
这个流程图展示了数学思维的三个主要阶段(问题分析、解题过程、解题后续),以及知识与能力的整合过程。每个阶段都包含具体的思维方法和策略,最终形成一个完整的数学思维体系。