（傅学顺）数学思维基本修养，问题转化与合理性检验

关于数学思维的基本修养

数学思维的基本修养，是把题目转化为可处理的数学结构，并通过推理、联想、检验和复盘形成解题路径。本文围绕问题识别、合理性检验、语言与逻辑转化、知识联想、构造有用事实、识别模型和解后总结，整理一套可练习的解题方法。

来源说明：本文围绕傅学顺、王屏山编著的《数学才能的培养》（暨南大学出版社，1991 年 9 月）相关内容作阅读整理，并加入例题讲解。书中观点、直接引文与本文的改写或补充应予区分。

(一)根据问题的目标和问题的结构，迅速确定其类型，区分其主要部分

① 寻求题

其目标是寻求数、图形、集合、不等式、方程、函数等等。其主要部分是未知、已知，以及未知和已知的关系——条件；条件一般又由若干款组成。

② 证明题

其目标是判断命题的真假。其主要部分是假设和结论，即充分条件和必要条件。假设一般也由若干款组成。这是广义的"寻求题"，寻求把结论和假设联系起来的逻辑链。

③ 选择题

其目标是指定集合内的一个元素作为答案。其主要部分是假设、结论的选择体系，（或已知条件，未知的选择体系）加上填空处。这是介于寻求题和证明题之间的问题，既可以归入前者，又可以转化为后者。

确定问题的类型，目的在于：判断该问题是否已经化成数学问题，在结构上又属于哪类数学问题，从而确定解题的目标和出发点。

【典型例题 1】（寻求题与结构剖析） 题目：已知实数满足方程，求与的值。 - 思维分析： - 类型识别：此题为寻求题（目标是求出未知数）。 - 结构剖析：未知量有两个（），但已知条件仅有一个二次方程。按常规多元方程组来看条件似乎不足，但分析其结构特征发现：方程包含二次项、一次项与常数项，这提示我们可以通过配方，将已知结构转化为非负数之和的形式。 - 解答：将原方程按和分组配方：因为对于任意实数，均有且。要使两非负数之和为，必须且只需满足：

(二)初探问题的合理性

① 检查假设各款本身的合理性，或确定合理之范围，比如先求函数定义域备用。

② 检查假设各款之间、结论各款之间是否相容。从前一种不相容，可以判断命题不合理。但从第二种不相容，只能判定命题部分不合理。

③ 用特殊化手法（包括赋特殊值）或极限手法，检查命题成立与否。此举虽然不能判断命题为真，但可以增强信心；偶尔可以判断命题为假，并造出反例。

初探合理性，好处在于：避免在无意义的问题上浪费精力（如抄错题），增强解题信心，甚至取得有用的解题信息。

【典型例题 2】（初探合理性与特殊值检验） 题目：在中，求证：。 - 思维分析： - 合理性初探（特殊化手法）：在展开复杂的三角恒等变形前，先赋予特殊值来检查命题是否合理。取正三角形：计算结果恰好等于右端的边界值，说明这个特殊情形与所猜测的上界相符，也提示我们在证明中关注对称性。特殊值检验只能帮助检查猜想，不能代替一般性证明。 - 解答：利用三角形内角和，令。原式左边化为：由于且，并且，所以：令，右侧为。其平方为，在上于取最大值，故原式不超过。等号要求且，因此当且仅当时取等号。

(三)用自己的语言复述问题（从语言上转化问题）

① 尽量用代数、几何、三角、微积分等的术语和符号，把问题的主要部分阐述出来。接着，把问题标准化，以便于联想有关定理和公式，也可以避免乱用定理或公式。

② 回到命题中诸概念的定义上来，尽量把有关元素引出来。这种"翻译"，有助于深刻理解问题，有助于猜到解法属何种类型。新元素的引入，则有助于联想定理、公式或模型。

【典型例题 3】（从语言与概念定义上转化） 题目：已知正数满足，求证：。 - 思维分析： - 语言转化（翻译为向量术语）：回到空间向量内积的定义上来，将代数式“翻译”为向量点积的几何形式。 - 设向量，向量。 - 原问题中的恰好是两向量的数量积；已知条件则是。问题标准化为“求向量点积的上界”。 - 解答：由柯西不等式（向量数量积公式）得：将已知条件代入上式：两边开平方即得：。当且仅当时等号成立。

(四)从逻辑上转化问题

① 对于证明题，写出其逆否命题，因为有些问题，后者较易引起联想和进行论证。

② 对于证明题，猜测其逆命题成立，并试图证明之，往往有助于原命题的解决。

③ 对于寻求题包括选择题，利用极限手法或特殊化手法，比较准确地猜出要求的东西，从而把原问题实际转化为证明题。这样转化出来的证明题，总比原问题容易解决，因为它有了确定的目标。

【典型例题 4】（写出逆否命题以简化逻辑） 题目：已知为实数，求证：若是无理数，则中至少有一个是无理数。 - 思维分析： - 逻辑转化（逆否命题）：原命题的结论包含否定词“至少有一个是无理数”，直接证明需要分多项讨论，较为繁琐。 - 写出其等价的逆否命题：“若都是有理数，则是有理数。” - 转化后的命题条件明确（均为有理数），结论肯定（是有理数），逻辑推理路径极为清晰。 - 解答：证明逆否命题：设均为有理数，根据有理数的定义，可设（其中均为整数，且）。两数相加得：因为整数的乘积与和仍为整数，所以和均为整数，且。根据定义，必为有理数。逆否命题获证，故原命题成立。

(五)联想有关知识

① 盯住本问题的结论，联想与本问题有相同结论的定理或解过的问题。想到了，就探索该定理或老问题的假设是否可由本问题的假设推出来。——列为辅助问题。这就导致简单的追溯型分析过程的开始。（请读者自行画出这种联想的示意图）

② 盯住本问题的假设，联想与本问题有相同假设的定理或老问题。想到了，就探索本问题的结论是否成立，是否可由该定理或老问题的结论推出来。——列为辅助问题。这就导致简单的后进型分析过程的开始。

③ 联想有关知识，既把本问题的假设转化，进行推理，又把其结论转化（尽量采用等价转化），进行推理，看两个转化能否达到同一中间结果。这就导致混合型分析过程的开始。

④ 与本问题有任何公共部分的定理或老问题，都可以作为联想的对象，以便从中得到有益的启示，从而开拓解题的思路。

【典型例题 5】（盯住结论与假设的追溯/后进型联想） 题目：在中，为三边长，求证：。 - 思维分析： - 盯住假设：已知条件是“ 为三角形三边”。联想关于三角形三边的基本定理——三角形任意两边之差小于第三边，即。 - 追溯联想：结论展开后为，即。这与从假设联想到的定理高度契合！于是确定解题方向：从三边关系定理出发，通过两边平方引出结论。 - 解答：由三角形三边关系可知。两边平方得：同理可得：将 ①、②、③ 三式左右分别相加：两边同时减去，整理即得：

(六)推出有用的事实

基本方法

① 利用本命题的结论，进行推理，引出对本问题有用的事实，乃至本问题的假设（追溯型分析之变种）。

② 把本问题的假设和结论合起来，进行一连串的推理，引出有用的信息，展开构造性探索。这就导致构造型分析过程的开始。

前一种，避免了（五）① 中进行联想的许多麻烦，却加强了探索的分量。

后一种，造出了"前所未有"的新问题，它与原问题的假设和结论都有相同成分。也避免了（五）①、② 中进行联想的许多麻烦，并且大大加强了探索的分量。

进阶策略

③ 利用本问题的假设，进行一系列推理，在推理结果中择优；取觉得最有希望引向本问题的结论者，把其他结果铭记在心，备用。这种多中择优，往往导致复杂的前进型分析的开始。

④ 用极限手法、特殊化手法、归纳法等，推出有用的信息。

⑤ 用类比手法找到解过的老问题，由老问题的解法猜测本问题的解法轮廓。换言之，类似的老问题及其解法，是一种很独特的解题信息。

有了好信息，便容易拟出初步的解题计划，其中每步都含有构造性活动。

重要原则

⑥ 要习惯于从结论（或加上假设）起步。对于适合追溯分析的问题，从结论起步（追溯型、构造型、混合型）可能比单纯从假设向前推更有效。一些学习者容易停留在前进型分析；如果推理无法继续，可以尝试转化目标或引入新表示。

⑦ 推理常常先从最不顺眼，觉得最尴尬的地方下手，因为它往往是编题者故意"拐弯"，加大难度之处。转化的技巧在于反其道而行，"拐"回原出发点，即熟悉的地方，以便建立联想。

【典型例题 6】（从最尴尬处下手与“反拐弯”换元） 题目：解方程。 - 思维分析： - 寻找尴尬之处：本题中最不顺眼、最令人尴尬的结构是根号下嵌套着嵌套根号。直接平方会导致四次双重根号，无法前进。 - 反拐弯策略：出题人故意在此“拐弯”。反其道而行之，设这个最尴尬的整体为新变量：令 ()，则。 - 观察换元后的根式内部：！复杂的双重根号立刻化开！ - 解答：令 ()，则。原方程变形为：利用绝对值的几何意义：数轴上点到与到的距离之和等于。因为点与点之间的距离恰为，故必须落在区间上，即：原方程的解集为闭区间。

(七)联想有关模型

这类模型包括三类：参考书提供的；自己析出的；尚在自己头脑中酝酿，还比较模糊的雏型。为了找到模型，

① 需要早一点考虑，是否需要把假设（或已知条件）重新分离，特别要把原命题没有强调甚至隐藏的条款挖出来，然后重新组合。

② 往往不是重新细分、重新组合好了才开始解题，而是边细分边组合边解，补充细分、补充组合之后再解，直到完全解决。

③ 在重新分离和重新组合过程中，谨防遗漏而减弱了假设；更要防止添加而增强了假设。前一种错误容易觉察，因为条件一弱，就解不下去，自然回头。后一种却未必，因为"比较顺利"，乐而忘忧。

④ 一般先取容易下手的条款来考虑。在取第二条款时，才考虑采用逐次逼近还是双轨模型。

⑤ 从别人那里看到或听来的经验或模型，一定要亲自实践，取得自己的经验，熟练到好象自己发现的一般，否则急用时就联想不上或用不好。

【典型例题 7】（重新组合条件与识别几何模型） 题目：求函数的最小值。 - 思维分析： - 隐藏条款分离：将代数式中的项拆解改写为两点间的距离公式形式。 - 模型重组：结构可以看作动点到定点的距离；结构可以看作动点到定点的距离。 - 识别模型：原式转化为求的最小值——这正是著名的“将军饮马”（轴对称求最短路径）几何模型。 - 解答：在平面直角坐标系中，设点，，动点位于轴上。做点关于轴的对称点。根据两点之间线段最短，。计算与两点间的距离：故函数的最小值为。

(八)本问题解决之后，还有一半（重要的一半）工作要做

① 尽可能把"笨"解法改进为"巧"解法。

② 把问题特殊化、具体化，寻求直接应用或引出推论。

③ 把问题抽象化，使其应用范围扩大，力求概括出模型，收到以一当十的效果。

④ 尽量由一题引出多题。即使不能引出新命题，能引出一串考问题也好，因为这有助于知识的系统化。

⑤ 尽量减弱假设（或已知条件），或加强结论，使定理精炼、强化。此项工作不宜太早进行，以免节外生枝、增加难度，或远离原题、迷失方向。

这（八）是消化、吸收、组织、深化的工作，可以为尔后应用和联想打好扎实的逻辑基础。解题之后，能否从中引出最大收获，由"笨"引向"巧"，由一般到特殊，或由特殊到一般，以一当十，是此项工作水平高低的重要标志。

【典型例题 8】（由“笨”引“巧”、概括模型与一题多变） 题目：求证：任意四个连续正整数的乘积加 1 是一个完全平方数。 - 思维分析与解后消化： - 笨解法（强行展开）：设四个连续正整数为。直接相乘展开可得四次多项式，再试图对其进行分解，过程繁琐易错。 - 改进为巧解（寻求分组与换元）：将首尾两项与中间两项分别组合：令，原式瞬间变为！巧解立现！ - 抽象化与模型推广（一题引多题）：解题后进一步思考：如果是公差为的等差数列，连续四项之积加也会是完全平方数吗？验证：。成功将一个特殊问题推广为普遍的数论/代数定理！

总结

以上便是数学思维基本修养的几个方面。原文借电子计算机的储存、反馈和提取作比喻，强调人的知识调用与临场联想具有不确定性，也可能因长期不使用而遗忘。这个比喻用于说明思维活动，并不意味着计算机处理必然成功，也不意味着人的学习过程可以用固定程序完全描述。掌握解题方法只是数学教学的一部分；如何结合知识、练习与反馈来改进教学，仍需进一步讨论。

知识与能力的关系

最后，让我们再次回到本书开头提出的关于知识和能力的关系上来。现在，我们已经可能把这个问题说得更加透彻更加科学了。

如果把数学问题比作"鱼"，把解题比作"网"，那么，这个网实际上是由知识和能力织成的网络。概念、公理、定理和推论，不过是这个网络上的一个个结点。这些结点靠代数、三角、平面几何、立体几何、解析几何、微积分等各种自身的系统性和逻辑性连结起来，捻成一条条纵线——显然，仅有这些东西，本领甚小，几乎让"鱼"全跑掉。

进而，靠着老师和学生共同努力，在严格训练的基础上，把知识系统化和手法归类，使每条纵线发展为网片。例如平面几何，就"如何证两线段相等""如何证两角相等""如何证两直线垂直""如何证两线段成比例""如何证三点共线""如何证四点共圆"等等问题，进行归类，使平面几何这条纵线发展为网片。这样，本领就大了些，能捞到不少"鱼"。但由于网片间缺乏横线联系，一片片处于纵向飘洒状态，许多"鱼"尚有机会逃走。

为了建立至关重要的横线，师生还得继续努力，通过解一定数量的综合题，大搞类比思维、复合思维，把平面几何片和立体几何片，几何片和代数片，几何片和三角片，三角片和代数片，联结起来。这样就把网络织得比较细密，一网撒去，可兜一群！

本文的归纳：知识网络需要通过练习和不同领域之间的联系逐步建立。早期训练可能有帮助，但仅凭这里的比喻不足以证明数学能力主要由早期训练决定，也不宜把天赋与训练说成互斥因素。