《写给全人类的数学魔法书》 读书笔记

学习的三步骤：“倾听→思考→再教会别人”。而准备一本属于自己的“宝库”笔记，实际上就是把第2步骤“思考”出来的东西，认认真真地记下来，等到日后再拿出来，教给未来的自己 。也就是学习的第3步骤。我想这的确是一种非常有魅力、非常棒的学习方法。

pratice with kids“宝库”笔记，大致可以分成“定理·公式篇”和“习题篇”两个部分。让我们来看看具体是怎么一个记法。

所谓演绎法，就是，“把在整体当中成立的理论，应用到部分当中去。”比如说：“太阳肯定从东方升起，从西方落下。因此，今天的太阳也是从东方升起，从西方落下。”这就是演绎法的思考方法。

归纳法指的又是什么呢？“把在部分当中适用的理论，推及到整体当中去

说到数学的基本精神，就是找出事物背后所隐藏的规律和性质

遇到不会的问题，看练习册后面的解题答案没有关系，但最最重要的一点就是，在看完解题答案之后的那一瞬间，你是怎么想的。“为什么不会？”“怎么样才能够会？”如果你能想到这些，那么你做这些练习题总算是没有白费功夫。

有一些“解题的基本功”就必须要掌握了。我在这里给大家介绍4个：①应用题“数字化”； ②理解除法运算当中所包括的两个含义； ③理解图表与联立方程式之间的联系； ④在做辅助线的时候，要充分考虑到，通过辅助线能不能获得更多用的信息。 这四点无论哪一点，都是非常重要的基本功。

我们要抱着“获取有用信息”这样一个明确的目标来作辅助线，从而解答问题，这绝非是一种偶然，而是实实在在的必然。

数学好的人，都把精力放在那些以前没有遇到过的新类型的数学题上面去了。

贯穿小初高数学解题始终的方法介绍如下10种解题的思路： （1）降低次方和次元 （2）寻找周期和规律性 （3）寻找对称性 （4）逆向思维 （5）与其考虑相加，不如考虑相乘 （6）相对比较 （7）归纳性的思考实验 （8）数学问题的图像化 （9）等值替换 （10）通过终点来追溯起点 那些数学好的人，他们的解题思路一般都不会超过这10种。遇到问题，他们会这样想： “运算起来太复杂了”→“能不能降低运算的次方？” “所要运算的数字实在是太庞大了”→“能不能找到周期和规律性？” “用常规的思路来做这道题，实在是太麻烦了”→“那就试着逆向思维！” “归纳总结起来，实在是太难了”→“可以进行实验性的思考！” “找不到该如何证明它的条理性”→“那就通过终点来追溯起点！” 如果你能熟练掌握这些解题思路，那么定理的证明也好，题目的解答也罢，你就不会觉得它们是从天而降，突如其来的了，你就能够跟得上当年那些数学家，数学天才们的思维逻辑，也就是说，你能够以这“10种解题的思路”为线索，去探寻当年那些数学先贤们的想法，从而发现数学的乐趣。

介绍如下10种解题的思路：（1）降低次方和次元（2）寻找周期和规律性（3）寻找对称性（4）逆向思维（5）与其考虑相加，不如考虑相乘（6）相对比较（7）归纳性的思考实验（8）数学问题的图像化（9）等值替换（10）通过终点来追溯起点那些数学好的人，他们的解题思路一般都不会超过这10种。遇到问题，他们会这样想：“运算起来太复杂了”→“能不能降低运算的次方？”“所要运算的数字实在是太庞大了”→“能不能找到周期和规律性？”“用常规的思路来做这道题，实在是太麻烦了”→“那就试着逆向思维！”“归纳总结起来，实在是太难了”→“可以进行实验性的思考！”“找不到该如何证明它的条理性”→“那就通过终点来追溯起点！”如果你能熟练掌握这些解题思路，那么定理的证明也好，题目的解答也罢，你就不会觉得它们是从天而降，突如其来的了，你就能够跟得上当年那些数学家，数学天才们的思维逻辑，也就是说，你能够以这“10种解题的思路”为线索，去探寻当年那些数学先贤们的想法，从而发现数学的乐趣。

数学好的人，越是遇到复杂的问题，就越是要归纳出其中的原理、规则和定义。然后抓住本质，将复杂的问题分解成一个个基本问题。

解这道题，最重要的就是从图形当中把四边形MHFN给提取出来，画成平面图。这时候，你是否能够看出MH和NF的长度是相等的？

想要把握那些庞大的数字或者无限循环的数列，就必须找到它的周期和规律性。

如果我们能够发现所要求值的算式是一个对称式的话，就可以运用对称式的性质来进行运算。 顺便说一下，在方程式的解和系数的关系当中，也能够用到对称式的性质。

方程式当中系数的排列为左右对称的形式，我们将这样的方程式称为“相反方程式”。只要将相反方程式当中同系数的项进行并项，就能够降低未知数的次方。

当我们从正面思考难以找出头绪，或者是找出的头绪不清楚的时候，可以试着换一个“新的切入点”，比如说逆向思维。

未知数乘法比未知数加法所要蕴含的有用信息多，所以通常我们对未知数方程式采用因式分解的方法来求解A×B=0

通过因数分解，我们能够将方程式变形，变成两项相乘的形式，从而获得更多的信息。

如果题目当中给出了2个未知数，却只给了1个方程式，那我们就可以考虑一下，能不能把方程式转换为方程式③的形式。如果不能，那就干脆去做下一题。

两项相乘的形式，作为方程式变形的基本方针。

对于一开始的“xy-x-y+1”的难以理解、难以把握，和后来的 “（x-1）（y-1）”的容易理解、容易把握，这之间的区别正是我想要大家去体会的。即两项相加所能获得的信息量，与两项相乘所能获得的信息量之间的差距。

找一个小数点后面保持一致的数字来作为参照物，也就是相对比较的话，我们很容易就能找出两者之间的“差距”。

解题思路7“归纳性的思考实验”

，对于看不太明白的问题，我们可以代入具体的数字，从而加深理解。并且随着理解的加深，我们可以提出归纳性的猜想，

观察和实验，才是发现自然界当中各种法则的根源。

同余式】a≡b（modm）a和b对模m同余，就是说，a除以m和b除以m，所得的余数是相等的。比如说，8除以5和13除以5，所得余数相等，我们就可以写成：8≡13 （mod5）这就是同余式，我们将它称之为：“8和13对模5同余”。当a≡b（modm），c≡d （modm）的时候，性质①　a+c≡b+d （modm）性质②　a-c≡b-d （modm）性质③　ac≡bd （modm）性质④　an ≡bn （modm）

解题思路1“降低次方和次元” ·陪集定理·三角函数半角公式·三角函数乘法公式和加法公式·空间向量·三角函数的积分·部分积分·哈密尔顿定理·三角函数的积分解题思路2“寻找周期和规律性” ·三角函数的图像·递推公式·n次导函数·部分积分·行列的n次方解题思路3“寻找对称性” ·解和系数的关系·3次函数的图像·偶函数和奇函数的积分解题思路4“逆向思维” ·对数·积分·反函数·反行列解题思路5“与其考虑相加，不如考虑相乘” ·等式、不等式的证明·式变形解题思路6“相对比较” ·差分数列·递推公式·向量的分解解题思路7“归纳性的思考实验” ·数学归纳法·分数递推公式·整数问题解题思路8“数学问题的图像化” ·轨迹和领域·三角方程式、三角不等式·函数的趋向、极限、图像·定积分和面积·函数的最大值和最小值·向量的内部乘积·向量的方程式·数列的极限·中间值定理·平均值定理

·极限坐标和极限方程式解题思路9“等值替换” ·恒等式·等式、不等式的证明·三角方程式·指数方程式·对数方程式·极限的条件决定了系数解题思路10“通过终点来追溯起点” ·证明题（全部）

授人以渔而非鱼的方式以及不以分数为导向的态度决定了未来的学习兴趣父亲的回答并不是“教给我什么知识”，而是一起来“思考”。对于各种问题，父亲都会给出大概的条理和启发。从而使我确信： “啊，原来不背解题方法也能够学好数学。” 另外，由于家母的性格特别开朗、天真烂漫，所以，不管当年的我考了多烂的成绩，她都不会骂我， “考的分数还真低呀！（笑）”

父亲的回答并不是“教给我什么知识”，而是一起来“思考”。对于各种问题，父亲都会给出大概的条理和启发。从而使我确信：“啊，原来不背解题方法也能够学好数学。”另外，由于家母的性格特别开朗、天真烂漫，所以，不管当年的我考了多烂的成绩，她都不会骂我，“考的分数还真低呀！（笑）”

当年的我，在学习上真的很自由。“必须给我背下来！”“必须给我考出好的成绩！”当年，像这样的监督和约束，我从来没有感受过。我学习数学不是被强迫的，而是带着兴趣去学的。