《儿童如何学习数学》-父母和教师的教育指南
2024-2-1|2024-2-2
静水流深
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How Children Learn Mathematics
A GUIDE FOR PARENTS AND TEACHERS
by Pamela Liebeck
引言
过去进步可能是正确的，但如今已经持续太久。
奥格登·纳什
自从数学被纳入学校教学以来，就不断有改革者倡导改革。在七十年代，改革者极力强调孩子们理解数学结构的必要性，而不仅仅是在日常计算上变得熟练。这些先驱者的典型笑话是，他们坚持认为孩子们应该理解5 x 3 = 3 x 5，但不关心他们是否也知道五个三等于十五。确实，重点更多放在数学结构而非计算技巧上。七十年代末和八十年代的反响则倾向于反其道而行之。雇主们抱怨他们的年轻新员工在计算方面不够熟练。他们对学校的建议是：“让孩子们擅长计算，理解自然会随之而来。”
当然，雇主们期待的不是机械式的计算技巧，而是应用数学解决实际问题的能力。然而，只有当你既理解相关的数学结构 又 掌握相关的计算技巧时，才能在实际问题中走得更远。要算出长5厘米、宽3厘米的矩形面积，光知道5 x 3 = 15和5 + 3 = 8是无济于事的，如果你不知道哪个是正确的计算方式。同样，你也无法决定用三张五英镑的钞票支付五株花园植物的费用，除非你明白5 x 3 = 3 x 5。
当我们只教授计算技能时，我们会听到对理解的需求。当我们只教授理解时，我们会听到对计算能力的需求。真正需要的是二者兼备。通过这两者，我们才能解决实际问题。要解决实际问题，我们需要理解数学。矛盾的是，要理解数学，我们需要探索实际问题。孩子们在学习数学时，需要通过玩耍真实的物体和探索他们感兴趣的实际问题来学习。
1988年，英国教育改革法案引入了国家课程。在数学领域，
第1章 引言
1 引言
国家课程旨在稳定而不是改革当前的教学方法。它规定了学校数学的核心内容，但没有具体指定教学方法。本书建议我们如何利用儿童的自然学习过程，帮助他们一步步建立数学发展的坚实基础。它试图在理解和计算能力的需求之间找到适当的平衡。
第1章提出了向儿童介绍数学概念的一般策略。第2至7章和第9至20章介绍了数学内容（基本覆盖了国家课程的第1至13目标的1至5级），以及引入这些内容的活动。每章的末尾都列出了活动所需的设备，同时也为读者提供了建议。第8章和第21章总结了心理学家在儿童发展理论和学习理论方面的贡献。
在写作本书时，我得到了实践数学教师Gillian Liebeck、感兴趣的家长Marion Jordan和专业数学家Hans Liebeck的极大帮助。他们三人都以敏锐的目光审阅了手稿，并指出了其中不相关、矛盾或需澄清的地方。如果还有遗漏，责任自然归于他们！我对他们表示感谢，也感谢Ruth Eagle、John Sloboda和John Armstrong对部分手稿的阅读和批评，以及企鹅图书公司员工在本书制作过程中的协助。
为何以及如何学习数学的六个问题
有时候，小驴伊俄尔会悲伤地思考：“为什么？”“出于何故？”或者“既然如此，为什么？”
- A. A. 米尔恩
1. 为什么教授数学？
这是Cockcroft报告[1]提出的第一个问题。报告回答说，数学对日常生活、科学、商业和工业都很有用，因为它提供了一种强大、简洁且明确的沟通方式，并且可以用来解释和预测。数学通过其独特的“语法”和句法发挥作用。此外，报告还声称，数学可以培养逻辑思维，并具有美学吸引力。
脚注1：参考文献列在章节末尾。
2. 人们为什么喜欢数学？
有些人可能因为数学的实用性而喜欢它。但对我们来说，从数学中获得的智力或美学满足可能是更大的吸引力。对孩子们来说尤其如此。因此，教师必须时刻意识到，尽管在学校花费大量时间学习数学的理由是它的实用性，但它对孩子们的吸引力基于他们的智力或美学反应，这与音乐或艺术的吸引力类似。
3. 数学如何在美学上类似于音乐或艺术吸引人？
首先，我们必须认识到个人差异影响了我们对音乐或艺术的反应。我们不都喜欢同一种音乐，我们也不能期望每个人都喜欢同一种数学。然而，我们对音乐或艺术的享受基于我们对模式的反应，以下小探索就是对数学中模式的反应。
众所周知，1、3、5、7等数字被称为奇数。让我们来解决一个问题：加起来前_一百_个奇数。即使有现代计算器，这个任务也可能非常漫长和枯燥。我们来反抗这种枯燥的计算。（反抗乏味计算是有希望的数学才能的标志！）让我们先加起来前_两个_奇数：
1+3=4。1+3=4。
接下来，加起来前三个、四个和五个奇数，然后暂停反思。
1+3+5=9。1+3+5=9。
1+3+5+7=16，1+3+5+7=16，
1+3+5+7+9=25。1+3+5+7+9=25。
看看我们加法的答案，即4、9、16、25。知道我们的乘法表，我们可以将这些数字与2×22×2、3×33×3、4×44×4和5×55×5联系起来。我们注意到一个模式：
前两个奇数加起来是2×22×2，
前三个奇数加起来是3×33×3，
前四个奇数加起来是4×44×4，
前五个奇数加起来是5×55×5。
你是否“直觉上”感到，前一百个奇数_一定_加起来是100×100100×100？我们还没有证明这是这样的，但模式的力量如此之大，你可能几乎不觉得需要去验证。可以通过代数或计算来证明10000是正确的结果。但我们已经不依赖这些方法就预测了结果。
4. 数学经常被称为“抽象”科目。这是什么意思？
尽管数学在解决实际问题方面具有巨大的能力，但它却被正当地视为一门抽象科目。一个数学计算或公式，如��+1=0eπ+1=0，本身并不直接展示任何实际相关性。然而，最复杂的数学牢牢植根于现实世界。它被正确地称为从现实世界中抽象出来的。即使是“两”这样的概念也是抽象的。在你遇到过许多对（比如一对眼睛、一对鞋、一对翅膀）并从中抽象出所有对共有的东西之前，你无法理解“两”。在你理解了“二”、“三”、“四”和其他类似概念之前，你无法理解“数字”是什么。数字是从一系列抽象中进一步抽象出来的。数字加法的概念比数字本身是更高层次的抽象。数学涉及一系列的抽象层次，我们不能理解任何数学概念，如果不同时理解它依赖的更低层次的概念。
当然，语言本身也是抽象的，我们通过语言来交流数学。但普通语言并不像数学那样涉及这种层次结构。教师的任务是引导孩子们穿越这些层次，同时保持与现实世界的联系。