全等模型补短法证明EF等于AE加CF 📚

经典图变式——补短法证明线段和

题目

如图，在四边形中，

点分别在线段上，且

求证：

一、怎样想到辅助线

结论右边是两条线段的和，但它们不在同一条直线上，不方便直接比较。

遇到“一条线段等于另外两条线段之和”，常用方法是截长补短：把两条短线段搬到同一直线上，拼成一条完整线段。

这里已经共线，所以我们可以把从点向外延长，在延长线上取一点，使

此时在同一直线上，而且点在之间，因此

于是原问题转化成：证明。

二、证明过程

第一步：证明

因为在上，且，所以

因为共线，且，所以

在和中，

所以

由全等三角形的对应边、对应角相等，得

第二步：找出另一对相等的角

射线把分成三个角，所以

把已知的、代入，得

由（1）可知，因此

所以

第三步：证明

在和中，

所以

因此

又因为共线，且点在线段上，所以

而，故

三、回头看：这道题真正要学会什么

这道题的核心不是复杂的角度计算，而是两次“搬运线段”：

由第一对全等三角形，把搬到，同时得到；

利用，凑出第二对全等三角形；

再把搬成，得到结论。

可以把方法压缩成一句话：

看到“线段和”，先想截长补短；看到“等边加等角”，再找 SAS 全等来搬运线段。

四、自我检查

辅助点必须取在经过的反向延长线上，保证的顺序；

第二次全等中的夹角必须是和；

不能只凭图形说，必须经过角的和差计算。